2進数と論理回路

私たちは指が10本あるので、0〜9の 10進数 を自然に使います。 でもコンピュータの体は無数のスイッチ。オン（1）とオフ（0）の2つしかありません。 だから 2進数（0と1だけの数え方）が、コンピュータの母国語なんです。

2進数ってどう数えるの？

10進数は「9の次でケタが上がる」。2進数は 「1の次でもうケタが上がる」 だけです。

10進数	0	1	2	3	4	5
2進数	0	1	10	11	100	101

「2でケタ上がり」と思えば怖くありません。各ケタの 重み も、10進数が 1, 10, 100… と10倍ずつなのに対し、2進数は 1, 2, 4, 8, 16… と2倍ずつ になります。

2進数→10進数はどう変換する？

「立っているケタ（1のケタ）の重みを足すだけ」です。たとえば 2進数の $1011$ なら、

$$1011_{(2)} = 1\times 8 + 0\times 4 + 1\times 2 + 1\times 1 = 11$$

$1$ のあるケタの重みだけ拾って $8+2+1=11$。それだけ。 下のスライダーを動かして、1のビット（光っている所）の重みを足すと10進数になる 感覚を体で確かめてみてください。

10進数 = 75

128 064 132 016 08 14 02 11 1

2進数 01001011 = 64 + 8 + 2 + 1 = 75

ビットをタップすると 0/1 が切り替わります。光っているビットの「重み」を足すと10進数。

ビットをタップして 0/1 を切り替えると、式と数がリアルタイムで変わります。 「2進数は、重みのスイッチを足し合わせているだけ」――これが腑に落ちれば勝ちです。

10進数→2進数はどう変換する？

逆向きは 「2で割って、余りを下から並べる」。$13$ を変換してみます。

13 ÷ 2 = 6 余り 1   ┐
 6 ÷ 2 = 3 余り 0   │ 余りを
 3 ÷ 2 = 1 余り 1   │ 下から上へ
 1 ÷ 2 = 0 余り 1   ┘ 読む

余りを 下から上へ 読んで $1101$。検算すると $8+4+0+1=13$。ちゃんと戻りました。

情報の量はどう数える？ ― ビットとバイト

2進数の1ケタ（0か1）を 1ビット と呼びます。これが情報の最小単位。 ビットが増えると、表せるパターンは倍々に増えていきます。

ビット数	表せるパターン
1 ビット	$2^1 = 2$ 通り
2 ビット	$2^2 = 4$ 通り
8 ビット	$2^8 = 256$ 通り

8ビット＝1バイト。「$n$ ビットなら $2^n$ 通り」はテストでも超頻出なので押さえておきましょう。 文字も色も音も、結局はこの“パターン”に番号をふって表しているだけです。

0と1で「計算」する仕組みは？ ― 論理回路

0と1を表せても、計算できなければ意味がありません。そこで登場するのが 論理回路。 基本は3つだけ。入力と出力を一覧にした 真理値表 で覚えます。

• AND（論理積）：両方が1のときだけ1（「両方そろえば」）
• OR（論理和）：どちらかが1なら1（「どちらかあれば」）
• NOT（否定）：0と1をひっくり返す

A	B	A AND B	A OR B
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

ANDは 直列のスイッチ（両方ONで初めて電球が光る）、ORは 並列のスイッチ（どちらかONで光る） とイメージすると一発です。NOTは「ONを入れるとOFFが返ってくる」あまのじゃくスイッチ。 この3つの組み合わせだけで、足し算も、やがてはCPUのすべての計算も作れてしまいます。

これで「0と1で表す」「0と1で計算する」がそろいました。 でも、計算の“手順”をどう組み立てれば、目的の答えにたどり着けるのか？ 次回は問題を解く段取り＝アルゴリズムの基本 に進みます。