三角比の相互関係 ― 1つわかれば残りもわかる

$\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta$ は別々のものに見えますが、ガッチリつながっています。 今回はその関係を2本だけ紹介します。暗記するのは2本だけ。ラクですよね。

関係その1：tan って sin と cos で作れる?

定義を思い出しましょう。

$$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$$

この2つを割り算してみます。すると斜辺がきれいに約分で消えるんです。

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\;\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\;}{\;\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\;} = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \tan\theta$$

つまり、

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

要するに、tan は sin と cos から作れる。3つ目を別腹で覚える必要はありません。

関係その2：なぜ sin²θ + cos²θ = 1 になる?

ここが今日のメインディッシュ。といっても、出どころはピタゴラスの定理です。

斜辺を $c$、対辺を $a$、隣辺を $b$ とすると、ピタゴラスの定理から

$$a^2 + b^2 = c^2$$

両辺を $c^2$ で割ります（ここがミソ）。

$$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1$$

ここで $\dfrac{a}{c} = \sin\theta$、$\dfrac{b}{c} = \cos\theta$ でしたよね。そのまま代入すると、

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

はい完成。これが三角比でいちばん大事な公式です。$\sin^2\theta$ は $(\sin\theta)^2$ の意味で、 「サインの2乗」と読みます。書き方がちょっと変なだけで、ただの2乗です。

この式、何がそんなにエラいの?

sin と cos のどっちか一方がわかれば、もう片方も計算で出せるんです。これが効きます。

たとえば $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ を求めてみましょう。

$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

$\theta$ が鋭角（$0^\circ$〜$90^\circ$）なら $\cos\theta$ は正なので、

$$\cos\theta = \frac{4}{5}$$

さらに関係その1を使えば、$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$ も即ゲット。 1個わかれば芋づる式に全部わかる。これがコスパ最強と言った理由です。

次回はいよいよ直角三角形を卒業。直角がなくても使える正弦定理・余弦定理の入り口です。